Vektor- und Matrizenrechnung fur Dummies (Fur Dummies)

Vektor- und Matrizenrechnung fur Dummies (Fur Dummies)

By: Karsten Kirchgessner (author), Marco Schreck (author)Paperback

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Description

Was Sie wissen mussen von Abbildungsmatrix bis Zylinderkoordinaten Ganz egal, was Sie machen wollen, in der Mathematik fuhrt ab einem gewissen Niveau kein Weg an der Vektorund Matrizenrechnung vorbei. Karsten Kirchgessner und Marco Schreck fuhren Sie in dieses Thema ein. Sie erklaren Ihnen, was Vektoren und Matrizen uberhaupt sind und wie Sie moglichst unkompliziert mit ihnen rechnen. Ausserdem erfahren Sie, was Sie uber Eigenwerte und Eigenvektoren wissen sollten, wie Sie lineare Gleichungssysteme losen und vieles mehr. So lernen Sie pfeilschnell, in diese Tiefen der Mathematik einzudringen. Besonderer Wert wird hierbei auf geschickte Ansatze und Tricks gelegt, die den Rechenaufwand und Komplexitatsgrad einer Aufgabenstellung reduzieren, sodass Sie insbesondere in Prufungen so schnell wie moglich zur korrekten Losung gelangen.

About Author

Karsten Kirchgessner arbeitet seit uber vier Jahren als Tutor fur hoehere Mathematik am Karlsruher Institut fur Technologie (KIT). Marco Schreck promovierte am KIT und blickt auf eine langjahrige Lehrerfahrung in der theoretischen Physik zuruck.

Contents

Einleitung 19 Konventionen in diesem Buch 19 Toerichte Annahmen uber den Leser 20 Was Sie in diesem Buch finden 20 Was Sie in diesem Buch nicht finden 20 Wie dieses Buch aufgebaut ist 20 Teil I: Einfuhrung 21 Teil II: Vektorrechnung 21 Teil III: Matrizen 21 Teil IV: Lineare Gleichungssysteme 21 Teil V: Der Top-Ten-Teil 22 Spickzettel 22 Symbole, die in diesem Buch verwendet werden 22 Wie es weitergeht 22 Teil I Einfuhrung 23 Kapitel 1 Motivation 25 Gestatten: Die Familie der Vektoren, Matrizen und linearen Gleichungssysteme 25 Vektoren in Theorie und Praxis 26 Matrizen in Schule, Studium und Beruf 27 Wie Matrizen behandelt werden wollen und wie sie einem behilflich sind 28 Kapitel 2 Vektorrechnung 31 Was war zuerst da: der Vektor oder der Pfeil? 31 Voll konkret: explizite Schreibweise und Komponenten eines Vektors 33 Der Betrag eines Vektors 36 Beispiele 37 Einheitsvektoren Voll normal! 38 Rechnen mit Vektoren 40 Addition und Subtraktion von Vektoren 40 Multiplikation von Vektoren mit Zahlen 45 Linearkombination von Vektoren als "Pfeile" 47 Differenzvektoren 48 Vektoren in der analytischen Geometrie 49 Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks 49 Zum Halten von Lasten 51 Kapitel 3 Matrizen 55 Definition und Form von Matrizen 55 Rechnen mit Matrizen mehr als nur ein Haufen Zahlen! 57 Addition und Subtraktion von Matrizen 57 Multiplikation von Matrizen 58 Invertieren von Matrizen 60 So sieht sich eine Matrix im Spiegel 60 Der Stammbaum der Matrizen 63 Reelle und komplexe Matrizen 63 Quadratische und nicht-quadratische Matrizen 64 Regulare und singulare Matrizen 64 Symmetrische und hermitesche Matrizen 64 Orthogonale und unitare Matrizen 66 Dreiecksmatrizen 67 Noch speziellere Matrizen 68 Matrizen bei der Arbeit 68 Determinante und Umkehrbarkeit von Transformationen 71 Eigenwerte, Eigenvektoren und das Diagonalisieren von Matrizen 71 Kapitel 4 Loesen von linearen Gleichungssystemen 73 Matrixschreibweise fur lineare Gleichungssysteme 73 Links- und Rechtsmultiplikation sind zweierlei! 77 Umformen der Koeffizientenmatrix eines linearen Gleichungssystems 81 Teil II Vektorrechnung 83 Kapitel 5 Vektor mal Vektor = ??? 85 Skalarprodukt: Vektor mal Vektor gleich Zahl 85 Definition und Schreibweisen 85 Wissenswertes zum Skalarprodukt: kurz und knapp 86 Geometrische Bedeutung endlich wird es anschaulich! 88 Wie berechnet man das Skalarprodukt konkret? 91 Kreuzprodukt: Vektor mal Vektor gleich Vektor 94 Definition und Schreibweise 94 Nutzliches zum Vektorprodukt: wieder kurz und knapp 94 Geometrische Bedeutung endlich wird s wieder anschaulich! 95 Wie rechnet man das Kreuzprodukt konkret aus? 96 Das Spatprodukt und was ist bitte ein Parallelepiped? 100 Dyadisches Produkt: Vektor mal Vektor gleich Matrix 102 Definition und Schreibweise 102 Dyadisches Produkt zweidimensionaler orthogonaler Einheitsvektoren 102 Dyadisches Produkt von orthogonalen Einheitsvektoren in drei Dimensionen 103 Kapitel 6 Die Welt der Mathematik besteht aus Vektoren 105 Unser Koordinatensystem ist das Gerust der Vektor-Welt 105 Kartesische Koordinatensysteme hier steht alles senkrecht! 105 Beispiele fur kartesische Koordinatensysteme 106 Polarkoordinaten krumme Linien in der Ebene?! 109 Zylinderkoordinaten Hut ab fur die dritte Dimension! 115 Kugelkoordinaten eine runde Sache 118 Basis und Basistransformationen: Wir wechseln den Blickwinkel! 122 Unter der Lupe: Was versteht man unter einer Basis? 122 Beispiele fur Basen 124 Basistransformationen aus Alt mach Neu 125 Jetzt geht s rund wir drehen die Basis! 127 Kapitel 7 Analytische Geometrie mehr als nur ein paar Baukloetze! 135 Lineare Abhangigkeit und Unabhangigkeit von Vektoren 135 Der Vektorzug fahrt ein 135 Parallele und antiparallele Vektoren 136 Anwendungsaufgabe zur linearen Abhangigkeit von Vektoren 137 Darstellung von Geraden und Ebenen 139 Parameterdarstellung: Jetzt kommen die Vektoren zum Zug! 139 Normalenform: Der senkrechte Vektor zeigt, wo es lang geht! 142 Zusammenfassung 144 Der Klassiker: Schnitte und Abstande von Geraden und Ebenen 144 Schnitte von Geraden mit Ebenen 144 Abstand zwischen Ebene und einer parallelen Gerade 146 Schnitt zweier Ebenen in Parameterdarstellung 147 Schnitt einer Ebene in Parameterdarstellung und einer Ebene in Normalenform 148 Bestimmung des Abstands zweier paralleler Ebenen 149 Parallele und windschiefe Geraden 151 Wir verlassen das Flachland und bauen Koerper aus Ebenen 155 Eine Pralinenschachtel in der Vektorrechnung 155 Analytische Geometrie fur Fortgeschrittene Teil 1: Wir bauen uns einen Tetraeder 157 Analytische Geometrie fur Fortgeschrittene Teil 2: Wie viel Farbe benoetigt man, um einen Dodekaeder anzumalen? 160 Die Sache kommt ins Rollen: Kugeln in der Vektorrechnung 166 Die Kugelgleichung 166 Tangentialebenen 167 Schnitt von Kugeln mit Ebenen 168 Kapitel 8 Funktionenraume 171 Koennen Funktionen Vektoren sein? 171 Ein Skalarprodukt fur Funktionen 173 Lineare Abhangigkeit und Unabhangigkeit von Funktionen 174 Funktionen machen es den Vektoren im Anschauungsraum nach 174 Der Funktionenraum der Polynome 175 Monome als Bausteine von Polynomen 175 Orthogonale Funktionen was bedeutet das? 175 Trigonometrische Funktionen 177 Auf der Suche nach einer Basis 177 Ran ans Werk: Das Skalarprodukt trigonometrischer Funktionen 178 Die Fourierreihe wir bringen Funktionen zum Schwingen 179 So macht man aus unstetigen Funktionen stetige 180 Teil III Matrizen 183 Kapitel 9 Rechenregeln 185 Assoziativgesetz, Distributivgesetz und Kommutativgesetz fur die Addition 185 Addition, Subtraktion und Multiplikation in Aktion 187 Division durch Bildung der Inversen 189 Lineare Abbildungen, Kern und Bild 190 Basistransformationen von Vektoren mittels Matrizen 190 Einfuhrung in lineare Abbildungen und deren Basiswechsel 191 Kapitel 10 Determinanten 199 Verfahren nach Leibniz 199 Permutationen da haben wir den (Zahlen)salat! 199 Die Determinantenformel 202 Schachbrettregel und Unterdeterminanten 205 Entwicklung nach Zeilen oder Spalten 207 Spezialfall: (2 x 2)-Matrizen 211 Spezialfall: (3 x 3)-Matrizen und Sarrussche Regel 211 Rechenregeln fur Determinanten 213 Anwendung: Berechnung des Kreuzprodukts mit der Determinante 214 Kapitel 11 Invertieren von Matrizen 217 Regularitat und Singularitat als Indiz fur Invertierbarkeit 217 Berechnung der Inversen mittels des Gauss-Algorithmus 219 Bildung der Inversen mittels der Adjunkten 222 Spezialfall: (2 x 2)- und (3 x 3)-Matrizen 226 Kapitel 12 Eigenwerte und Eigenvektoren, Diagonalisieren von Matrizen 229 Berechnung von Eigenwerten, algebraische Vielfachheit 229 Berechnung der Eigenvektoren, geometrische Vielfachheit 235 Diagonalisieren von Matrizen 241 Algebraische Vielfachheit = Geometrische Vielfachheit 241 Mehrfaches Auftreten von Eigenwerten 243 Algebraische Vielfachheit ?nGeometrische Vielfachheit 244 Besonderheiten von symmetrischen und hermiteschen Matrizen 245 Was sich nicht andert beim Diagonalisieren 248 Anwendung: Noch einmal Drehungen 250 Anwendung: Quadriken 252 Die Hauptachsen einer Quadrik 255 Anwendung des Verfahrens nach Gram und Schmidt 257 Ein paar Tipps zum Abschluss des Kapitels! 257 Fur Fortgeschrittene: Jordansche Normalform 258 Bestimmung der Jordan-Normalform und der Transformationsmatrix 259 Kapitel 13 Besonders einfache Matrizen 263 Dreiecksmatrizen 263 Diagonalmatrizen 263 Blockdiagonale Matrizen 264 Teil IV Loesen von linearen Gleichungssystemen 271 Kapitel 14 Gauss-Algorithmus in Matrixschreibweise: Vertiefung 273 Erweiterte Koeffizientenmatrix und Zeilenstufenform 273 Rang von Matrizen 274 Systeme mit einer eindeutigen Loesung 276 Systeme ohne Loesung 278 Systeme mit unendlich vielen Loesungen 279 Kapitel 15 Loesen von linearen Gleichungssystemen mit Hilfe von Parametern 283 Einfuhrung von Parametern und Bilden der Loesung 283 Minus-Eins-Erganzungstrick: Erzeugung der Zeilennormalform und Ablesen der Loesung 284 Kapitel 16 Homogene und partikulare Loesung 287 Bildung der homogenen Loesung 287 Bildung der partikularen Loesung 289 Zusammensetzen beider Loesungen 289 Kapitel 17 Loesungsweg unter Verwendung der Determinante 291 Aufstellen der zu berechnenden Determinanten und Cramersche Regel 291 Resultate aus der Cramerschen Regel 293 Anwendung: Loesbarkeit eines linearen Gleichungssystems in Abhangigkeit zweier Parameter 293 Anwendung: Die Wronski-Determinante 295 Die Wronski-Determinante in Aktion 296 Lineare Unabhangigkeit im Fall der Monome 297 Lineare Unabhangigkeit im Fall der Sinus- und Kosinusfunktionen 298 Teil V Der Top-Ten-Teil 299 Kapitel 18 Zehn haufige Anfangerfehler 301 Dividieren durch Vektoren Nein! 301 Matrizen vertauschen nicht! 301 Ein Vektor hangt von den Komponenten und der Basis ab! 301 Verwirrung beim komplexen Skalarprodukt 301 Leichtsinnsfehler 302 Vektoren in anderen Koordinatensystemen 302 Einheitskreis wie bitte? 302 Wurzelziehen aus Quadraten 302 Vorsicht mit der imaginaren Einheit 302 Falsche Regeln bei der Berechnung von Determinanten 303 Kapitel 19 Zehn Tipps fur erfolgreiche Prufungen 305 UEben, uben, uben! 305 Nachdenken ist die halbe Miete! 305 Ergebnisse kritisch begutachten 305 UEben Sie auch moeglichst an verschiedenen Aufgabentypen! 306 Gleichungen mussen stimmig sein! 306 Effizienz von Algorithmen 306 Aussehen von Geraden und Ebenen 306 Denken Sie sich selber Aufgaben aus! 306 Nehmen Sie nicht alles bierernst! 306 Denken Sie an die am haufigsten vorkommenden Fragen! 307 Stichwortverzeichnis 309

Product Details

  • ISBN13: 9783527707423
  • Format: Paperback
  • Number Of Pages: 312
  • ID: 9783527707423
  • weight: 548
  • ISBN10: 3527707425
  • language of text: German

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